Méthodes Géométriques en Mécanique

Quiberon
12-17 Sept. 2016

5ème école d'été de mécanique théorique à destination des doctorants et chercheurs en Mécanique

Le principe de l'organisation de cette série d'écoles d'été de mécanique théorique est né du constat d'une certaine désaffection de la communauté mécanicienne française vis-à-vis des fondements de sa discipline. Ce mouvement est sans doute en partie une conséquence des retombées spectaculaires des progrès de la mécanique dans les domaines technologiques. Il en a résulté un souci légitime de la communauté mécanicienne de produire un savoir-faire immédiatement utilisable par la société en vue du progrès technologique. Il nous semble cependant vital de rappeler que les progrès des fondements de la mécanique sont tout aussi importants que l'accompagnement de ses applications immédiates, et que ce sont les progrès fondamentaux d'aujourd'hui qui font les retombées technologiques de demain. Nous considérons également comme essentiel que toute formation dans le domaine de la Mécanique comprenne une sensibilisation aux aspects théoriques qui en font un champ de connaissance vivant étendant sans cesse son champ d'application.

Pour remettre la mécanique fondamentale à l'honneur, nous nous proposons d'organiser à intervalles réguliers des écoles concernant chacune un thème de mécanique théorique dont au moins une connaissance élémentaire nous paraît indispensable à tout mécanicien professionnel. Les thèmes retenus pour les quatre premières écoles de mécanique théorique ont été ceux des « Méthodes Asymptotiques en Mécanique », des « Milieux Continus Généralisés », de « l'Analyse Variationnelle et Microstructuration » et des « Instabilités et Bifurcation en Mécanique ». Les sites web de ces éditions précédentes sont consultables et accessibles à partir du site web du groupe de travail « Mécanique Théorique » mecatheo.ida.upmc.fr. La cinquième école de mécanique théorique sera consacrée au thème des « Méthodes Géométriques en Mécanique ».

Les fondements de la mécanique géométrique, au sens moderne du terme, remontent aux travaux de Lagrange au début du 19ème siècle. Dans son ouvrage « Mécanique Analytique », on trouve le premier exemple abstrait d’une variété différentielle (espace des configurations). La description mathématique des systèmes mécaniques indépendamment du choix préalable d’une paramétrisation est, presque autant que l’étude des courbes et des surfaces, à l’origine du développement de la géométrie différentielle abstraite au 20ème siècle. En retour, cette dernière s'est révélée être le cadre naturel dans lequel s'inscrivait l'ensemble de la mécanique et, en particulier, les points de vue duaux Lagrangien et Hamiltonien. Cette démarche d'abstraction a permis de bien distinguer les aspects les plus fondamentaux de la théorie de ceux qui sont plus secondaires. Ainsi les lois de conservation pour les systèmes mécanique dérivant d’un Lagrangien s’avèrent être la traduction de l’invariance de l’action Lagrangienne par un groupe de Lie. Il s’agit là d’une conséquence du théorème d’E. Noether qui sera généralisé par J.-M. Souriau grâce à l’introduction de l’application moment associée à l’action d’un groupe de Lie sur une variété. Cela a naturellement entraîné de fécondes retombées pour l’étude qualitative de la dynamique. D’une manière générale, les développements de la géométrie différentielle au 20ème siècle ont donné un cadre mathématique puissant pour la formulation et l’étude de la thermodynamique des milieux continus.

L’usage de la géométrie différentielle en mécanique connaît actuellement un renouveau important aux USA grâce en particulier au développement de nouvelles méthodes numériques basées sur la préservation des propriétés géométriques des équations de la mécanique. Malheureusement, en France, les mécaniciens restent un peu en retrait par rapport à cette évolution. Aussi, cette école d'été vise-t-elle à montrer les liens étroits qui existent entre mécanique et géométrie et les nombreuses retombées de l’adoption du point de vue géométrique sur la résolution des problèmes de mécanique. Aucune connaissance préalable de géométrie différentielle ne sera présupposée. Les concepts fondamentaux seront tous introduits avant d'en montrer quelques applications plus spécialisées.

Cette manifestation est subventionnée par le CNRS au titre des écoles thématiques 2016, ainsi que par l'AUM-AFM.